🧮 सरलीकरण - संपूर्ण सिद्धांत

गणना तकनीकों में निपुण बनें - IBPS में गति ही सब कुछ है!

🎯 BODMAS नियम

संक्रियाओं का क्रम:

B - ब्रैकेट्स (सबसे भीतर वाले को पहले हल करें) O - ऑफ (गुणा) D - भाग M - गुणा A - जोड़ S - घटाव

महत्वपूर्ण: भाग और गुणा को समान प्राथमिकता है (बाएँ से दाएँ) महत्वपूर्ण: जोड़ और घटाव को समान प्राथमिकता है (बाएँ से दाएँ)

ब्रैकेट के प्रकार (सबसे भीतर से बाहर की ओर):

() - पैरेन्थेसिस (गोल ब्रैकेट) {} - ब्रेसिज़ (कर्ली ब्रैकेट) [] - स्क्वायर ब्रैकेट — - विन्कुलम (संख्याओं के ऊपर बार)

💡 हल किए उदाहरण - BODMAS

उदाहरण 1: बुनियादी BODMAS

प्र: सरल कीजिए: 12 + 18 ÷ 6 × 2 - 3

हल:

चरण 1: पहले भाग: 18 ÷ 6 = 3 = 12 + 3 × 2 - 3

चरण 2: गुणा: 3 × 2 = 6 = 12 + 6 - 3

चरण 3: जोड़: 12 + 6 = 18 = 18 - 3

चरण 4: घटाव: 18 - 3 = 15

उत्तर: 15

उदाहरण 2: ब्रैकेट्स के साथ

प्र: सरल कीजिए: 5 + [(24 - 12) ÷ 3] × 2

हल:

चरण 1: सबसे भीतर का ब्रैकेट: 24 - 12 = 12 = 5 + [12 ÷ 3] × 2

चरण 2: ब्रैकेट के अंदर भाग: 12 ÷ 3 = 4 = 5 + 4 × 2

चरण 3: गुणा: 4 × 2 = 8 = 5 + 8

चरण 4: जोड़: 5 + 8 = 13

उत्तर: 13

उदाहरण 3: जटिल ब्रैकेट्स

प्र: सरल कीजिए: 100 - [50 - {25 - (15 - 5)}]

हल:

चरण 1: गोल ब्रैकेट: 15 - 5 = 10 = 100 - [50 - {25 - 10}]

चरण 2: कर्ली ब्रैकेट: 25 - 10 = 15 = 100 - [50 - 15]

चरण 3: वर्ग कोष्ठक: 50 - 15 = 35
= 100 - 35

चरण 4: अंतिम: 100 - 35 = 65

उत्तर: 65

🔢 भिन्न सरलीकरण

मूलभूत संक्रियाएँ

योग/व्यवकलन:

a/b + c/d = (ad + bc) / bd

उदाहरण: 2/3 + 3/4 = (8 + 9) / 12 = 17/12

गुणा:

a/b × c/d = (a × c) / (b × d)

उदाहरण: 2/3 × 3/5 = 6/15 = 2/5

भाग:

a/b ÷ c/d = a/b × d/c

उदाहरण: 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6

उदाहरण 4: मिश्र भिन्न

प्र: सरल कीजिए: 2(1/3) + 1(2/5)

हल:

अनुचित भिन्नों में बदलें:
2(1/3) = 7/3
1(2/5) = 7/5

7/3 + 7/5 = (35 + 21) / 15 = 56/15 = 3(11/15)

उत्तर: 3(11/15) या 56/15

🔷 दशमलव सरलीकरण

संक्रियाएँ

योग:

12.5 + 3.75 = 16.25
(दशमलव बिंदुओं को पंक्तिबद्ध करें)

गुणा:

2.5 × 1.2 = 3.0
(कुल दशमलव स्थानों की गिनती: 1 + 1 = 2)

भाग:

12.5 ÷ 2.5 = 125 ÷ 25 = 5
(दोनों को 10 से गुणा कर दशमलव हटाएँ)

उदाहरण 5: दशमलव संक्रियाएँ

प्र: (0.5 × 0.5 × 0.5) ÷ (0.05 × 0.05 × 0.05)

हल:

= (5 × 5 × 5) / (10 × 10 × 10) ÷ (5 × 5 × 5) / (100 × 100 × 100)
= 125/1000 ÷ 125/1,000,000
= 125/1000 × 1,000,000/125
= 1,000

शॉर्टकट:

= (0.5/0.05)³ = (10)³ = 1,000 ✓

उत्तर: 1,000

√ करणी तथा घातांक

वर्गमूल

मुख्य मान (याद रखें!):

√1 = 1 √36 = 6 √4 = 2 √49 = 7 √9 = 3 √64 = 8 √16 = 4 √81 = 9 √25 = 5 √100 = 10 √121 = 11 √144 = 12 √169 = 13 √196 = 14 √225 = 15

अघात नियम

√(a × b) = √a × √b √(a/b) = √a / √b (√a)² = a √a × √a = a

उदाहरण 6: अघात

प्र: सरल कीजिए: √50 + √32

हल:

√50 = √(25 × 2) = 5√2 √32 = √(16 × 2) = 4√2

√50 + √32 = 5√2 + 4√2 = 9√2

उत्तर: 9√2

🔺 घातांक/घात

मूलभूत नियम

a^m × a^n = a^(m+n) a^m ÷ a^n = a^(m-n) (a^m)^n = a^(mn) a^0 = 1 a^(-n) = 1/a^n a^(1/n) = ⁿ√a

उदाहरण 7: घातांक

प्र: सरल कीजिए: (2³ × 2²) ÷ 2⁴

हल:

= 2^(3+2) ÷ 2⁴ = 2⁵ ÷ 2⁴ = 2^(5-4) = 2¹ = 2

उत्तर: 2

⚡ सन्निकटन तकनीकें

कब सन्निकटित करें

जब प्रश्न “अनुमानित मान” मांगे जब विकल्प दूर-दूर हों जब सटीक गणना अधिक समय ले

तकनीकें

1. राउंडिंग:

23.7 ≈ 24 98.2 ≈ 98 या 100 4.91 ≈ 5

2. मानक मानों का उपयोग:

√2 ≈ 1.414 √3 ≈ 1.732 π ≈ 3.14 या 22/7

**3. भिन्न सन्निकटन:

1/3 ≈ 0.33 2/3 ≈ 0.67 1/7 ≈ 0.14

उदाहरण 8: सन्निकटन

प्र: अनुमानित मान निकालें: √101 + √99

हल:

√101 ≈ √100 = 10 √99 ≈ √100 = 10

√101 + √99 ≈ 10 + 10 = 20

उत्तर: ≈ 20

🎯 विशेष तकनीकें

तकनीक 1: बड़ी संख्याओं को सरल करना

12,345 × 8 = 12,345 × 2 × 4 = 24,690 × 4 = 98,760

या उपयोग करें: 12,345 × 8 = (12,000 + 345) × 8 = 96,000 + 2,760 = 98,760

तकनीक 2: 5 से विभाजन

5 से विभाजित करें = 2 से गुणा करें और 10 से विभाजित करें

345 ÷ 5 = (345 × 2) ÷ 10 = 690 ÷ 10 = 69

तकनीक 3: 11 से गुणा

2-अंकीय संख्याओं के लिए: अंकों को जोड़ें और योग को बीच में रखें

34 × 11 = 3_(3+4)_4 = 374

तकनीक 4: 5 पर समाप्त होने वाली संख्याओं का वर्ग

(10a + 5)² = a(a+1) × 100 + 25

25² = 2 × 3 × 100 + 25 = 625 35² = 3 × 4 × 100 + 25 = 1,225 45² = 4 × 5 × 100 + 25 = 2,025

💡 और उदाहरण

उदाहरण 9: अज्ञात खोजना

प्रश्न: यदि 5x - 3(x - 2) = 14, तो x ज्ञात करें।

हल:

5x - 3x + 6 = 14 2x + 6 = 14 2x = 8 x = 4

उत्तर: x = 4

उदाहरण 10: प्रतिशत सरलीकरण

प्रश्न: 500 के 40% का 15% क्या है?

हल:

= 15/100 × 40/100 × 500 = 0.15 × 0.4 × 500 = 0.06 × 500 = 30

उत्तर: 30

उदाहरण 11: मिश्रित संक्रियाएँ

प्रश्न: सरल करें: (64)^(2/3) + (125)^(1/3)

हल:

(64)^(2/3) = (∛64)² = 4² = 16 (125)^(1/3) = ∛125 = 5

कुल = 16 + 5 = 21

उत्तर: 21

⚡ तेज गणना ट्रिक्स

ट्रिक 1: 9, 99, 999 से गुणा

45 × 9 = 45 × (10 - 1) = 450 - 45 = 405 45 × 99 = 45 × (100 - 1) = 4,500 - 45 = 4,455

ट्रिक 2: 9 से विभाजन

9 से विभाजित होने की जाँच करने के लिए: अंकों का योग 9 से विभाजित होना चाहिए 234 → 2+3+4 = 9 → विभाजित ✓

ट्रिक 3: 50 के पास वर्ग

48² = (50-2)² = 2,500 - 200 + 4 = 2,304 52² = (50+2)² = 2,500 + 200 + 4 = 2,704

ट्रिक 4: संख्याओं का प्रतिशत

x का 10% = x/10
x का 5% = x/20
x का 25% = x/4
x का 20% = x/5

⚠️ सामान्य गलतियाँ

❌ गलती 1: गलत BODMAS क्रम

गलत: 10 - 5 + 3 = 10 - 8 = 2 ✗
सही: 10 - 5 + 3 = 5 + 3 = 8 ✓
(जोड़ और घटाव: बाएँ से दाएँ!)

❌ गलती 2: कोष्ठक हटाना

गलत: 5 - (3 - 2) = 5 - 3 - 2 = 0 ✗
सही: 5 - (3 - 2) = 5 - 1 = 4 ✓
(कोष्ठक से पहले ऋण चिन्ह भीतर के चिन्हों को बदल देता है!)

❌ गलती 3: दशमलव गुणा

गलत: 0.5 × 0.5 = 0.25 को “2.5” गिना ✗
सही: दशमलव स्थानों को ध्यान से गिनें ✓

❌ गलती 4: शून्य घात

गलत: 5⁰ = 0 ✗
सही: 5⁰ = 1 (किसी भी संख्या की घात 0 = 1) ✓

❌ गलती 5: ऋणात्मक घातांक

गलत: 2⁻³ = -8 ✗
सही: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 ✓

📊 याद रखने योग्य महत्वपूर्ण मान

वर्ग (1-30)

1² = 1 11² = 121 21² = 441
2² = 4 12² = 144 22² = 484
3² = 9 13² = 169 23² = 529
4² = 16 14² = 196 24² = 576
5² = 25 15² = 225 25² = 625
6² = 36 16² = 256 26² = 676
7² = 49 17² = 289 27² = 729
8² = 64 18² = 324 28² = 784
9² = 81 19² = 361 29² = 841
10² = 100 20² = 400 30² = 900

घन (1-15)

1³ = 1 6³ = 216 11³ = 1,331
2³ = 8 7³ = 343 12³ = 1,728
3³ = 27 8³ = 512 13³ = 2,197
4³ = 64 9³ = 729 14³ = 2,744
5³ = 125 10³ = 1,000 15³ = 3,375

📝 अभ्यास प्रश्न

स्तर 1:

1. सरल करें: 24 ÷ 6 + 3 × 2 - 1
2. सरल करें: 2/5 + 3/10
3. √169 क्या है?

स्तर 2:

4. सरल कीजिए: 100 - [80 - {60 - (40 - 20)}]
5. (0.8 × 0.8 × 0.8) ÷ (0.2 × 0.2 × 0.2)
6. सरल कीजिए: 3² × 3³ ÷ 3⁴

स्तर 3:

7. √48 + √75 - √12
8. यदि 3x - 2(x - 5) = 20, तो x ज्ञात कीजिए
9. (216)^(2/3) + (64)^(1/3)

🔗 संबंधित विषय

पूर्वापेक्षाएं:

• Number System - गणनाओं की नींव

सरलीकरण का उपयोग:

• Percentage - प्रतिशत गणनाओं को सरल करना
• Average - योग को सरल करना
• Profit & Loss - जटिल गणनाएं

अभ्यास:

• सरलीकरण प्रश्न
• शॉर्टकट और ट्रिक्स

सरलीकरण मास्टर करें - गति और सटीकता IBPS परीक्षाओं में जीत दिलाती है! 🧮