अनुपात एवं समानुपात - सिद्धांत एवं अवधारणाएँ

⚖️ अनुपात और समानुपात - सम्पूर्ण सिद्धांत

मिश्रण, साझेदारी, समय और कार्य आदि की नींव!

🎯 अनुपात क्या है?

अनुपात एक ही प्रकार की दो मात्राओं की तुलना करता है।

a:b या a/b के रूप में व्यक्त किया जाता है
उदाहरण: यदि 2 सेब और 3 संतरे → अनुपात = 2:3

महत्वपूर्ण: दोनों मात्राएँ समान इकाई में होनी चाहिए!

📐 मूल सूत्र

अनुपात की मूल बातें

यदि a:b = m:n, तो: a/b = m/n an = bm (क्रॉस गुणा)

अनुपात से वास्तविक मानों तक

यदि अनुपात a:b है और योग S है: पहला भाग = [a/(a+b)] × S दूसरा भाग = [b/(a+b)] × S

उदाहरण: अनुपात 3:2, योग = 500

पहला = (3/5) × 500 = 300 दूसरा = (2/5) × 500 = 200

🔄 अनुपात के प्रकार

1. संयुक्त अनुपात

(a:b) और (c:d) = ac:bd

उदाहरण: (2:3) और (4:5) = 8:15

2. द्विगुण अनुपात

a:b → a²:b²

उदाहरण: 3:4 → 9:16

3. त्रिगुण अनुपात

a:b → a³:b³

4. अर्धगुण अनुपात

a:b → √a:√b

5. व्युत्क्रम अनुपात

a:b → b:a

🎯 समानुपात

समानुपात: दो अनुपातों की समानता

a:b = c:d या a/b = c/d
“a का b से वैसा ही संबंध है जैसा c का d से” के रूप में पढ़ा जाता है

समानुपात के प्रकार

1. मध्यानुपाती:

यदि a/b = b/c, तो b² = ac b = √(ac) b, a और c के बीच मध्यानुपाती है

2. तृतीयानुपाती:

यदि a/b = b/c, तो c तृतीयानुपाती है c = b²/a

3. चतुर्थानुपाती:

यदि a/b = c/d, तो d चतुर्थानुपाती है d = bc/a

⚡ महत्वपूर्ण गुणधर्म

गुणधर्म 1: व्युत्क्रम

यदि a/b = c/d, तो b/a = d/c

गुणधर्म 2: वैकल्पिक

यदि a/b = c/d, तो a/c = b/d

गुणधर्म 3: कॉम्पोनेन्डो

यदि a/b = c/d, तो (a+b)/b = (c+d)/d

गुणधर्म 4: डिविडेन्डो

यदि a/b = c/d, तो (a-b)/b = (c-d)/d

गुणधर्म 5: कॉम्पोनेन्डो-डिविडेन्डो ⭐

यदि a/b = c/d, तो: (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d)

समीकरणों को तेजी से हल करने के लिए सबसे उपयोगी!

💡 हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: वास्तविक मान ज्ञात करना

प्र: ₹750 को 2:3 के अनुपात में बाँटें.

हल:

कुल भाग = 2 + 3 = 5

पहला = (2/5) × 750 = ₹300 दूसरा = (3/5) × 750 = ₹450

उदाहरण 2: तृतीयानुपाती

प्र: 4 और 6 का तृतीयानुपाती ज्ञात कीजिए.

हल:

यदि a/b = b/c, तो c = b²/a

c = 6²/4 = 36/4 = 9

उत्तर: 9

उदाहरण 3: कॉम्पोनेन्डो-डिविडेन्डो

प्र: यदि (x+y)/(x-y) = 4/3, तो x/y ज्ञात कीजिए.

हल:

कॉम्पोनेन्डो-डिविडेन्डो को उल्टे क्रम में प्रयोग करते हुए: (x+y)/(x-y) = 4/3

जोड़ने व घटाने पर: 2x/2y = (4+3)/(4-3) = 7/1 x/y = 7/1

उत्तर: 7:1

उदाहरण 4: आय-व्यय

प्र: A और B की आयें 5:4 के अनुपात में हैं। व्यय 3:2 के अनुपात में हैं। यदि दोनों ₹1,000 बचाते हैं, तो A की आय ज्ञात कीजिए।

हल:

माना आयें = 5x और 4x माना व्यय = 3y और 2y

बचत: 5x - 3y = 1000 … (1) 4x - 2y = 1000 … (2)

(2) से: 2x - y = 500 y = 2x - 500

(1) में प्रतिस्थापित करने पर: 5x - 3(2x - 500) = 1000 5x - 6x + 1500 = 1000 -x = -500 x = 500

A की आय = 5x = 5 × 500 = ₹2,500

🔄 अनुपात के अनुप्रयोग

अनुप्रयोग 1: आयु संबंधी समस्याएँ

वर्तमान आयु अनुपात a:b n वर्ष बाद: (a+n):(b+n) n वर्ष पहले: (a-n):(b-n)

अनुप्रयोग 2: चाल-समय-दूरी

यदि चालें a:b के अनुपात में हैं: लिया गया समय b:a के अनुपात में होता है (उल्टा!) समान समय में तय दूरी a:b के अनुपात में होती है

अनुप्रयोग 3: विलयन मिलाना

मिश्रण व संयोजन से जुड़ता है!

⚡ त्वरित शॉर्टकट

शॉर्टकट 1: अनुपात से प्रतिशत

अनुपात a:b कुल = a + b

a का प्रतिशत = [a/(a+b)] × 100% b का प्रतिशत = [b/(a+b)] × 100%

उदाहरण: 3:7

कुल = 10 पहला = 30%, दूसरा = 70%

शॉर्टकट 2: अनुपात पदों को बढ़ाना

यदि a:b, दोनों को समान संख्या से गुणा करें: a:b = 2a:2b = 3a:3b (सभी समान अनुपात!)

शॉर्टकट 3: अनुपातों को जोड़ना

यदि A:B = 2:3 और B:C = 4:5 B को समान बनाएं: A:B = 8:12 (4 से गुणा) B:C = 12:15 (3 से गुणा) A:B:C = 8:12:15

📝 अभ्यास समस्याएँ

स्तर 1:

560 को 3:5 के अनुपात में बाँटें
9 और 16 के बीच माध्यमानुपातिक ज्ञात करें
यदि a/b = 3/4, तो (a+b)/(a-b) ज्ञात करें

स्तर 2:

A और B की आयु 3:5 है। 6 वर्ष बाद, 2:3 हो जाती है। वर्तमान आयु ज्ञात करें।
यदि (2x+3y)/(3x-2y) = 7/4, तो x:y ज्ञात करें
तीन संख्याएँ 2:3:4 के अनुपात में हैं, योग = 108। संख्याएँ ज्ञात करें।

स्तर 3:

आय 4:3 के अनुपात में, व्यय 3:2 में। दोनों ₹500 बचाते हैं। आय ज्ञात करें।
यदि A:B = 2:3, B:C = 4:5, C:D = 6:7, तो A:D ज्ञात करें
शराब और पानी 3:2 के अनुपात में। 5L पानी मिलाने पर, अनुपात 3:4 हो जाता है। मूल मात्रा ज्ञात करें।