संख्या प्रणाली के सूत्र और शॉर्टकट

🔢 संख्याओं के प्रकार

प्राकृत संख्याएँ (N)

N = {1, 2, 3, 4, 5, …} गिनती = n - 1 (1 से n तक की संख्याओं के लिए)

पूर्ण संख्याएँ (W)

W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} गिनती = n + 1 (0 से n तक की संख्याओं के लिए)

पूर्णांक (Z)

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

परिमेय संख्याएँ (Q)

संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सके जहाँ q ≠ 0

अपरिमेय संख्याएँ

संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता उदाहरण: √2, √3, π

🎯 विभाज्यता नियम

2 से विभाज्य

• नियम: अंतिम अंक सम है (0, 2, 4, 6, 8)

3 से विभाज्य

• नियम: अंकों का योग 3 से विभाज्य है
• उदाहरण: 123 → 1+2+3=6 (6 ÷ 3 = 2) ✓

4 से विभाज्य

• नियम: अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य संख्या बनाते हैं
• उदाहरण: 1524 → 24 ÷ 4 = 6 ✓

5 से विभाज्य

• नियम: अंतिम अंक 0 या 5 है

6 से विभाज्य

• नियम: 2 और 3 दोनों से विभाज्य है

7 से विभाज्य

• नियम: अंतिम अंक को दोगुना करें, शेष से घटाएं
• उदाहरण: 343 → 34 - (2×3) = 28 → 28 ÷ 7 = 4 ✓

8 से विभाज्य

• नियम: अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य संख्या बनाते हैं
• उदाहरण: 5640 → 640 ÷ 8 = 80 ✓

9 से विभाज्य

• नियम: अंकों का योग 9 से विभाज्य है
• उदाहरण: 891 → 8+9+1=18 (18 ÷ 9 = 2) ✓

10 से विभाज्य

• नियम: अंतिम अंक 0 है

11 से विभाज्य

• नियम: विषम और सम स्थानों पर अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए
• उदाहरण: 2917 → (2+1) - (9+7) = 3 - 16 = -13 ✗
• उदाहरण: 91827 → (9+8+7) - (1+2) = 24 - 3 = 21 ✗
• उदाहरण: 1331 → (1+3) - (3+1) = 4 - 4 = 0 ✓

🔢 अभाज्य और संयुक्त संख्याएं

अभाज्य संख्याएं

• संख्याएं जिनके ठीक दो गुणनखंड हों (1 और स्वयं)
• पहली 10 अभाज्य संख्याएं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
• 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है

संयुक्त संख्याएं

• संख्याएं जिनके दो से अधिक गुणनखंड हों
• 1 न तो अभाज्य है और न ही संयुक्त

अभाज्य संख्याओं की जांच

√n तक 2 से विभाज्यता की जांच करें यदि किसी संख्या से विभाज्य न हो → अभाज्य

📐 लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्त्य

महत्तम समापवर्त्य (HCF/GCD)

विधियां:

1. अभाज्य गुणनफल विधि

HCF = न्यूनतम घातों के साथ उभयचर अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल

उदाहरण: 72 और 108 का HCF

• 72 = 2³ × 3²
• 108 = 2² × 3³
• HCF = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

2. भाग विधि

जब तक शेषफल 0 न हो, भाग देते रहें अंतिम गैर-शून्य शेषफल HCF होता है

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)

विधियां:

1. अभाज्य गुणनफल विधि

LCM = अधिकतम घातों के साथ सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल

उदाहरण: 72 और 108 का LCM

• 72 = 2³ × 3²
• 108 = 2² × 3³
• LCM = 2³ × 3³ = 8 × 27 = 216

2. भाग विधि

अभाज्य संख्याओं से भाग देते रहें सभी भाजकों और शेष संख्याओं का गुणा करें

महत्वपूर्ण संबंध

दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM

उदाहरण: 72 और 108 के लिए

• 72 × 108 = 7776
• महत्तम समापवर्तक × लघुतम समापवर्त्य = 36 × 216 = 7776 ✓

🔢 भिन्न और दशमलव

भिन्नों के प्रकार

• उचित भिन्न: अंश < हर (3/4)
• अनुचित भिन्न: अंश > हर (7/4)
• मिश्र भिन्न: पूर्णांक + उचित (1¾)
• तुल्य भिन्न: समान मान, भिन्न रूप (1/2 = 2/4)

भिन्नों पर संक्रियाएँ

योग/व्यवकलन

a/b ± c/d = (ad ± bc)/bd

गुणा

(a/b) × (c/d) = ac/bd

भाग

(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = ad/bc

सांत और असांत दशमलव

सांत दशमलव

• हर में केवल 2 और 5 ही अभाज्य गुणक हों
• उदाहरण: 1/8 = 0.125, 3/20 = 0.15

असांत आवर्त दशमलव

• हर में 2 और 5 के अतिरिक्त अन्य अभाज्य गुणक हों
• उदाहरण: 1/3 = 0.333…, 1/7 = 0.142857…

🎯 करणी और घातांक

घातांक के नियम

मूलभूत नियम

a^m × a^n = a^(m+n) a^m ÷ a^n = a^(m-n) (a^m)^n = a^(mn) a^0 = 1 (a ≠ 0) a^(-n) = 1/a^n

भिन्न घातांक

a^(1/n) = ⁿ√a a^(m/n) = (ⁿ√a)^m

करणियों का सरलीकरण

हर का परिमेयन

1/√a = √a/a 1/(√a + √b) = (√a - √b)/(a - b) 1/(√a - √b) = (√a + √b)/(a - b)

📊 संख्या श्रृंखला पैटर्न

समांतर श्रेणी (AP)

सूत्र: a, a+d, a+2d, a+3d, … प्रथम पद: a सार्व अंतर: d nवाँ पद: a + (n-1)d n पदों का योग: n/2 × [2a + (n-1)d]

गुणोत्तर श्रेणी (GP)

सूत्र: a, ar, ar², ar³, … पहला पद: a सामान्य अनुपात: r nवां पद: a × r^(n-1) n पदों का योग: a(r^n - 1)/(r - 1) जब r ≠ 1

विशेष श्रेणियाँ

पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग = n(n+1)/2 वर्गों का योग = n(n+1)(2n+1)/6 घनों का योग = [n(n+1)/2]²

🧮 शॉर्टकट और ट्रिक्स

वर्ग संख्याएँ

1² = 1 11² = 121 21² = 441 2² = 4 12² = 144 22² = 484 3² = 9 13² = 169 23² = 529 4² = 16 14² = 196 24² = 576 5² = 25 15² = 225 25² = 625 6² = 36 16² = 256 26² = 676 7² = 49 17² = 289 27² = 729 8² = 64 18² = 324 28² = 784 9² = 81 19² = 361 29² = 841 10² = 100 20² = 400 30² = 900

घन संख्याएँ

1³ = 1 6³ = 216 11³ = 1331 2³ = 8 7³ = 343 12³ = 1728 3³ = 27 8³ = 512 13³ = 2197 4³ = 64 9³ = 729 14³ = 2744 5³ = 125 10³ = 1000 15³ = 3375

गुणा शॉर्टकट

11 से गुणा

उदाहरण: 35 × 11 = 385 चरण 1: 3 _ 5 चरण 2: 3 (3+5) 5 = 385

9 से गुणा

संख्या × 9 = (संख्या × 10) - संख्या उदाहरण: 47 × 9 = 470 - 47 = 423

99 से गुणा

संख्या × 99 = (संख्या × 100) - संख्या उदाहरण: 67 × 99 = 6700 - 67 = 6633

📈 इकाई अंक के पैटर्न

इकाई अंकों की चक्रता

2, 3, 7, 8: 4 का चक्र 4, 9: 2 का चक्र 0, 1, 5, 6: हमेशा समान

उदाहरण: 7²³ का इकाई अंक ज्ञात करें

• 7 का चक्र 4 है: 7, 9, 3, 1
• 23 ÷ 4 = 5 शेष 3
• चक्र में 3वां स्थान = 3
• इकाई अंक = 3

🎯 महत्वपूर्ण सूत्र

संख्याओं का औसत

औसत = (सभी संख्याओं का योग)/(वस्तुओं की संख्या)

क्रमागत संख्याओं का योग

1 से n तक योग = n(n+1)/2 a से b तक योग = (a + b) × (पदों की संख्या)/2

संख्याओं के गुणधर्म

सम + सम = सम विषम + विषम = सम सम + विषम = विषम

सम × सम = सम विषम × विषम = विषम सम × विषम = सम

📝 अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1:

84 और 144 का महत्तम समापवर्तक और लघुतम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।

हल:

• 84 = 2² × 3 × 7
• 144 = 2⁴ × 3²
• महत्तम समापवर्तक = 2² × 3 = 12
• लघुतम समापवर्त्य = 2⁴ × 3² × 7 = 1008

प्रश्न 2:

3⁴⁵ × 7²⁸ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।

हल:

• 3 का चक्र 4 है: 3, 9, 7, 1. 45 ÷ 4 = 11 शेष 1 → 3
• 7 का चक्र 4 है: 7, 9, 3, 1. 28 ÷ 4 = 7 शेष 0 → 1
• 3 × 1 = 3
• इकाई अंक = 3

🔗 संबंधित विषय

• Simplification - सरलीकरण तकनीकें
• Average - औसत गणनाएँ
• Ratio and Proportion - अनुपात समस्याएँ
• Percentage - प्रतिशत गणनाएँ

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